Questions sur Phénomènes ondulatoires non dispersifs

Bonsoir monsieur,

Quelques petites questions sur ce cours :

1) Dans l'exemple d'une onde qui est somme de modes propres, je ne comprend pas à quoi servi la "création" d'une série de Fourrier impaire et de période 2L vu qu'on ne s'en sert pas dans le calcul des bn (je l'ai appelée Psi_2L(x) sur mon cours). Pouvez vous m'éclairez svp ?

2) Je voudrais être sûr d'avoir compris les câbles coaxiaux : du point de vu infinitésimal, un câble coaxial équivaut à une inductance et un condensateur (branché comme sur le cours) alors que du point de vu global, cela équivaut à une impédance ?

3) Pour les expériences qui visent à trouver c à partir d'un GBF qui envoie des impulsions, la fréquence des impulsions doit être très élevée pour aller au delà de l'ARQS ? Mais du coup si c'est le cas les GBF du labo peuvent ils aller jusqu'à ce type de fréquences ?

Merci pour vos réponses
Alexandre JANOT

Alexandre Janot a écrit:Bonsoir monsieur,

Quelques petites questions sur ce cours :

1) Dans l'exemple d'une onde qui est somme de modes propres, je ne comprend pas à quoi servi la "création" d'une série de Fourrier impaire et de période 2L vu qu'on ne s'en sert pas dans le calcul des bn (je l'ai appelée Psi_2L(x) sur mon cours). Pouvez vous m'éclairez svp ?

2) Je voudrais être sûr d'avoir compris les câbles coaxiaux : du point de vu infinitésimal, un câble coaxial équivaut à une inductance et un condensateur (branché comme sur le cours)  alors que du point de vu global, cela équivaut à une impédance ?

3) Pour les expériences qui visent à trouver c à partir d'un GBF qui envoie des impulsions, la fréquence des impulsions doit être très élevée pour aller au delà de l'ARQS ? Mais du coup si c'est le cas les GBF du labo peuvent ils aller jusqu'à ce type de fréquences ?

Merci pour vos réponses
Alexandre JANOT

1) Une somme infinie de modes propres de la corde vérifie D'Alembert et les CAL (noeuds en x= et x=L). Alors on obtient à t=0 pour la position de la corde comme pour sa vitesse une expression en fonction de x qui s'identifie à une série de Fourier d'une fonction de x impaire et 2L périodique. Il reste à calculer les coeff an et bn qui sont donc liés aux conditions initiales, soit Psi(x,0) et d(rond)Psi/d(rond)t(x,0). Supposons la vitesse nulle initialement en tout point de la corde: pour connaître bn, il faut développer Psi(x,0) en série de Fourier, ce qui n'est pas possible car Psi(x,0) n'est défini qu'entre 0 et L. Qu'à cela ne tienne: on crée Psi.2L(x) impaire et 2L périodique qui s'identifie à Psi(x,0) entre 0 et L. Psi.2L(x) se développe en série de Fourier et prend la même forme que la somme de modes propres à t=0. On identifie alors les bn et on a trouvé la solution du problème.

2) Je n'ai jamais dit qu'un coaxial était équivalent à une impédance, juste que pour une OPP dans le sens des x croissants, on a u(t-x/c)=Zc*i(t-x/c).
Vu de l'entrée x=0, le coaxial ne peut être remplacé par son impédance caractéristique Zc QUE s'il n'y a qu'une OPP x croissants, donc pas d'onde réfléchie (c'est la cas pour un coaxial infini, ou pour un coaxial qui débite sur R=Zc).

3) Si on étudie un coaxial en rsf et qu'on veut détecter un déphasage entre l'entrée et la sortie, il faut que le retard tau=L/c ne soit pas << T=1/f, donc il ne faut pas f<< 1/tau= c/L: il faut prendre L grand et f grand, sinon on est dans l'ARQS (L<< lambda=c/f)
Avec des impulsions, c'est différent car elles contiennent des fréquences très grandes (leur transformée de Fourier vaut 1... plus simplement, c'est un signal qui dure très peu donc qui contient une grande bande de fréquences). On n'est pas dans l'ARQS avec des impulsions.
Avec un oscillo analogique, on doit envoyer des impulsions périodiques pour avoir un signal stable à l'écran, et il vaut que la fréquence des impulsions ne soit pas trop grande pour que le signal réfléchi revienne avant qu'une nouvelle impulsion soit envoyée. Cf. le TP que je mets en ligne aujourd'hui.

Bonjour,
J'en profite pour poser d'autres questions sur le premier chapitre des ondes :

- 1) Dans la preuve de D’Alembert on écrit alpha = tan (alpha) = d(rond)(psi)/d(rond)x mais on ne trouve pas plutôt alpha = d(psi)/dx ? Pourquoi y a-til égalité ? Ensuite en projetant le PFD sur Ox on trouve T = T(t) = To mais pourquoi la tension est indépendante du temps ? Ne varie-t-elle pas au cours de la perturbation ?

- 2) Quel sens donner à la célérité c d'une onde stationnaire puisque justement elle ne se propage pas ?

- 3) Dans un problème avec deux conditions aux limites : pour la première on pose alpha = - Pi/2 et la deuxième donne k = n*Pi/2 avec n dans N. Mais donc pourquoi dans un cas un fixe une valeur de n (ici -1 pour la CAL 1) et dans le deuxième cas on laisse à n la possibilité de prendre toutes les valeurs de N ?

- 4) Pourquoi lorsqu'on tombe sur Laplacien(s) = 1/c**2 * d(rond carré)(s)/d(rond)(t**2) alors c est forcément la célérité de l'onde s ?

Merci d'avance
Burcelin

Burcelin a écrit:Bonjour,
J'en profite pour poser d'autres questions sur le premier chapitre des ondes :

       - 1)  Dans la preuve de D’Alembert on écrit alpha = tan (alpha) = d(rond)(psi)/d(rond)x mais on ne trouve pas plutôt alpha = d(psi)/dx ? Pourquoi y a-til égalité ? Ensuite en projetant le PFD sur Ox on trouve T = T(t) = To mais pourquoi la tension est indépendante du temps ? Ne varie-t-elle pas au cours de la perturbation ?

       - 2) Quel sens donner à la célérité c d'une onde stationnaire puisque justement elle ne se propage pas ?

       - 3) Dans un problème avec deux conditions aux limites : pour la première on pose alpha = - Pi/2 et la deuxième donne k = n*Pi/2 avec n dans N. Mais donc pourquoi dans un cas un fixe une valeur de n (ici -1 pour la CAL 1) et dans le deuxième cas on laisse à n la possibilité de prendre toutes les valeurs de N ?

       - 4) Pourquoi lorsqu'on tombe sur Laplacien(s) = 1/c**2 * d(rond carré)(s)/d(rond)(t**2) alors c est forcément la célérité de l'onde s ?

Merci d'avance
Burcelin

1) Je n'ai pas très bien compris: on raisonne à t fixé donc c'est bien tan(alpha)=d(rond)psi/d(rond)x et tan(alpha)= alpha à l'ordre 1.
Quant à la tension, elle dépend du temps: T(t)=T0+T1(t) avec T1 du premier ordre car dû à l'onde. Or dans les calculs qui sont faits à l'ordre 1 en la perturbation, il suffit d'aller à l'ordre 0 pour la tension.
2) Pour une onde stationnaire, pas de terme en wt-kx ou w(t-x/c) donc c n'intervient pas directement. Elle intervient quand même puisque k=w/c mais c'est parce qu'on peut décomposer l'onde en une OPPH x croissants et une OPPH x décroissant.
3) Dans le premier cas, écrire alpha = n*Pi n'apporte strictement rien puisque la solution A*sin(kx) ou -A*sin(kx+Pi) c'est pareil. En revanche sin(Pi*x/a) et sin(2*Pi*x/a) ce n'est pas pareil!
4) C'est démontré dans le cours: les solutions de cette équation sont des OPP se propageant selon ex ou -ex.

Point 4) en effet je n'avais pas vu qu'on l'avait montré. Par contre on l'a montré uniquement pour des ondes vérifiant D'Alembert. On a donc montré que c = 1/sqrt(rho.Xs) pour des ondes vérifiant D'Alembert. Mais ce matin vous m'avez dit que l'expression de la vitesse était valable même si l'onde ne vérifiait pas D'Alembert (exo 5 TD4 onde acoustique dans un tube qui s’évase). On l'a démontré aussi ou on admet que l'expression se généralise pour toutes les ondes ?

Burcelin a écrit:Point 4) en effet je n'avais pas vu qu'on l'avait montré. Par contre on l'a montré uniquement pour des ondes vérifiant D'Alembert. On a donc montré que c = 1/sqrt(rho.Xs) pour des ondes vérifiant D'Alembert. Mais ce matin vous m'avez dit que l'expression de la vitesse était valable même si l'onde ne vérifiait pas D'Alembert (exo 5 TD4 onde acoustique dans un tube qui s’évase). On l'a démontré aussi ou on admet que l'expression se généralise pour toutes les ondes ?

Même si on n'a plus D'Alembert, c=1/sqrt(rau0*khi.S) reste et restera à jamais la vitesse des ondes acoustiques dans un fluide!
En revanche, on n'a plus la décomposition en f(t-x/c) et g(t+x/c), chacun de ces termes traduisant une propagation d'onde plane sans déformation (pas de dispersion, pas d'atténuation). Ce matin par exemple, il y avait et dispersion et atténuation (ou amplification selon le sens de propagation) dans le tuyau divergent.